20/4/15

La maduración de Ostwald en los núcleos de múltiples burbujas

Hiroshi WatanabeMasaru SuzukiHajime Inaoka y Nobuyasu Ito

ABSTRACTO

La maduración de Ostwald de burbujas es estudiado por simulaciones de dinámica molecularque involucran hasta 679 × 10 6 partículas Lennard-Jones. Muchas burbujas aparecen después de la despresurización de un sistema que se mantiene inicialmente en la fase-líquido puro, y el engrosamiento de las burbujas de la siguiente manera. La auto-similitud del tamaño de las burbujas función de distribución predicha por Lifshitz-Slyozov-Wagner teoría es confirmada directamente. El número total de burbujas disminuye asintóticamente como  con la ampliación exponente  . A medida que aumenta la temperatura inicial, el exponente cambios de  = 3/2 a 1, lo que implica que el crecimiento de las burbujas de cambios desde la interfaz limitada (la 1/2 ley) a (la difusión limitada tercera ley) crecimiento.
Cuando la presión de un líquido se reduce de repente, aparecen burbujas. Después de la formación de burbujas, su engrosamiento tiene lugar, es decir, burbujas más grandes crecen a expensas de los más pequeños. Esto se conoce como maduración de Ostwald. La maduración de Ostwald es uno de los fenómenos de no equilibrio fundamentales y se observa comúnmente en muchos sistemas tales como sistemas de espines, 1 espumas, 2-4 aleaciones metálicas, 5,6 y así sucesivamente.Por lo tanto, la comprensión de la maduración de Ostwald es de importancia teórica y práctica. Lifshitz y Slyozov 7 desarrolló la teoría de la maduración de Ostwald en el caso de difusión limitada, que fue seguido por la teoría de Wagner 8 para el caso interfaz limitado (LSW). Mientras que la teoría LSW ha logrado un gran éxito cualitativamente en la predicción de los comportamientos de la maduración de Ostwald para varios sistemas, es altamente no trivial si la teoría funciona para los sistemas de burbujas. Hay dos hipótesis fundamentales en la teoría LSW. Una de ellas es la ley de conservación. Las fracciones de volumen de la segunda fase se supone que son constantes en la etapa tardía de engrosamiento. Cuando la segunda fase y la matriz son los mismos compuestos, la ley de conservación no pueden ocupar ya que las dos fases pueden cambiar entre sí. El otro es el tratamiento de campo medio. Se ha reportado en muchos estudios de que la distribución de tamaño de clúster es generalmente más amplio que el predicho por la teoría LSW, por ejemplo, en los sistemas de aleación. 9 Esto es debido a que el tratamiento el LSW es un tipo de una teoría de campo medio, que es no siempre justificada. 9,10 Para el caso de crecimiento de la burbuja en un líquido, este problema puede ser más grave ya que las interacciones entre las burbujas a través del líquido ambiente son balísticos, y, en consecuencia, puede ser más fuerte que las existentes entre los precipitados en los sistemas de aleación. Además, no está claro que los procesos de crecimiento de las burbujas son cuasi-estático, que también se asume en la teoría LSW. Por lo tanto, la validez de la teoría LSW debe ser verificada por los sistemas de burbujas. Aunque se han realizado una serie de experimentos sobre la maduración de Ostwald, 2-6,11 pocos se han centrado en los núcleos de burbujas, especialmente los núcleos homogéneos. Se han realizado estudios en los que el núcleo de un pequeño número de burbujas se simularon numéricamente por dinámica molecular (MD) simulaciones. 12-16 Sin embargo, no ha habido prácticamente ningún estudio en la simulación de un sistema de múltiples burbujas con número suficiente de burbujas para estudiar la maduración de Ostwald, debido principalmente a la falta de potencia de cálculo. Además, las burbujas se iniciaron por puntos calientes en los últimos estudios. 12,14 Por lo tanto, las simulaciones de núcleos homogéneos sin iniciación ha estado esperando. Recientemente, se ha hecho posible llevar a cabo una simulación de partículas completo de un sistema de múltiples burbujas por MD debido al desarrollo de la potencia de cálculo.17 Con el número suficiente de partículas, que es típicamente más de cien millones, se puede obtener la burbuja distribución -size con suficiente precisión para hacer una comparación detallada entre los resultados numéricos y la teoría LSW. En el presente trabajo, realizamos MD simulaciones del proceso de cavitación con el fin de alcanzar los núcleos homogéneos ideales de burbujas e investigar la validez de la teoría LSW para los núcleos de burbujas. 
Este trabajo está organizado de la siguiente manera. En Sec. II , se da una breve descripción de la teoría LSW. En Sec. III , se describen detalles de nuestro método. Los resultados numéricos se dan en la Sec. IV . Por último, Sec. V está dedicado a un resumen y discusiones de este estudio.
II. LA TEORÍA DE LA MADURACIÓN
Considere una función de distribución  (  ,  ) que indica un número de burbujas que tienen volumen  en el tiempo  en el sistema. Varios observables se definen como

)0F) d ,
(1) 

VG)0f) d ,
(2) 

v¯)VG) ,
(3) 
donde  (  ),  (  ), y ˉv(t) son el número total de burbujas, el volumen total de la fase de gas, y el volumen medio de las burbujas en el momento  , respectivamente. La función de distribución acumulativa (CDF) se define también como v¯)

F) ≡ )1v0F) d .
(4) 
La evolución temporal de la función de distribución está dada por la siguiente ecuación de continuidad:

Ftvv̇ F) ,
(5) 
donde ˙v es un término cinético que denota los cambios de volumen de las burbujas. La teoría LSW asume que el término cinética depende sólo del volumen de las burbujas de  en el tiempo  , es decir, todas las burbujas están sometidos a la presión idéntica del líquido ambiente. El supuesto fundamental de la teoría LSW es la auto-similitud de las formas de la función de la siguiente manera: v̇ 

F)~tyF~tx) ,
(6) 

v̇ )~tωv̇ ~tx) ,
(7) 
donde  ,  , y ω están reduciendo exponentes. También se supone que el volumen total del gas se hace casi constante en el límite de tiempo siempre y cuando

VGt.
(8) 
A partir de la ley de conservación (8) y la ecuación de continuidad (5) , se obtienen las relaciones de escala  = -2  y  = ω + 1. Entonces se espera que los comportamientos asintóticos de observables ser

)~tx,
(9) 

v¯)~tx,
(10) 

F)~F~tx) .
(11) 
Esto significa que el comportamiento asintótico está determinado solamente por uno de escala exponente  . La escala exponente se determina cuando se da la expresión explícita del término cinético.
Para observar la evolución temporal de la función de distribución  (  ,  ), llevamos a cabo simulaciones MD con el truncado Lennard-Jones (LJ) potencial de la forma

V) = ɛ σr)12σr)6c2rσ)2c0] ,
(12) 
con el ɛ profundidad del pozo y σ diámetro atómico. 18 Los coeficientes  y  se determina de manera que  (  ) =  '(  ) = 0 con la longitud de corte  , es decir, los valores de potencial y la fuerza se convierten continuamente cero en el punto de truncamiento y  (  ) = 0 para  >  . La longitud de truncamiento se establece en 3 a lo largo de las simulaciones. En lo que sigue, usamos las cantidades físicas reducidas por σ, ɛ, y la constante de Boltzmann  , por ejemplo, la longitud se mide con la unidad de σ, y así sucesivamente. Utilizamos temperatura cinética como la temperatura en el sistema, es decir, la temperatura  se define por 

T≡ K2,
(13) 
donde  es la energía cinética media por partícula. La temperatura cinética se puede definir cuando se conserva la energía total del sistema.
El sistema es un cubo con la condición de frontera periódica en todas las direcciones. El paso de tiempo se fija a 0,005 largo de las simulaciones. En primer lugar, mantener el sistema en la fase líquida pura usando el termostato Nosé-Hoover. 19 En un estudio anterior, la línea binodal entre el líquido y que coexisten las fases de este sistema se determinó que era ρ  (  ) =  +  +  (  - ) β , donde  = -0,195 (1),  = 0,533 (1),  = 0,5347 (4),  = 1,100 (5), y β = 0,3285 (7). 20 Usando estos parámetros, que fijan la densidad inicial como ρ = 1,04 × ρ  (  ), es decir, la densidad inicial se establece en 4% mayor que la densidad ρ coexistente  a una temperatura dada. Las condiciones de simulación se enumeran en la Tabla I . Después termalización, el termostato se apaga y el sistema se vuelve microcanónica. El sistema se expande como  → α  y  → α  , donde α es un factor de cambio de escala y  denota la posición de la partícula  . Elegimos α = 1,025 para todas las carreras. Después de la expansión, el sistema está en la región coexistentes en el diagrama de fases, y por lo tanto, aparezcan burbujas como resultado de la descomposición espinodal. Con el fin de estudiar las evoluciones temporales de burbujas, algún criterio es necesario identificar que las partículas están en estado gaseoso o líquido. Una definición posible es tomar el criterio Stillinger; 21 dos partículas están en el mismo grupo cuando la distancia entre ellos es menor que un umbral. Sin embargo, este criterio es demasiado caro para un sistema que involucra a cientos de millones de partículas. En su lugar, se utiliza el método subcelda en división en el presente estudio, es decir, se divide el sistema en pequeños subceldas con longitud 3.075, y un subcelda se define como en el estado de gas cuando su densidad es inferior a un umbral de densidad. El tamaño de las subcélulas se eligen de manera que el subcell contiene típicamente una partícula cuando la subcelda está en el estado de gas. Basándonos en nuestra base empírica, el tamaño de subcélulas son lo suficientemente pequeños para resolver configuraciones de burbujas y lo suficientemente grande para identificar fases entre gas y líquido. 17,22 Las densidades del gas y líquido coexisten en este sistema en el típico temperatura  = 0,9 son estimado en 0,0402 (2) y 0,6790 (9), respectivamente. 20 Aquí, elegimos 0,2 como el umbral de densidad, es decir, un subcell que tiene menos de seis partículas se define como en el estado de gas. Se confirmó que los resultados son insensibles al umbral de densidad. 17 La precisión del volumen de las burbujas 'están determinados por el volumen de los subceldas que está a unos 29 (3.075 3 ). En la región de la escala, el volumen medio de las burbujas son más grandes que 5000. Por lo tanto, la inexactitud debido a la subcell-divisoria es a lo sumo 0,6%. Aunque este problema puede ser más grave cuando se considera la función de distribución, la inexactitud debido a la subcell-divisoria no es grave como se muestra en la Fig. 4 . 
Tabla I.
Las condiciones iniciales. La temperatura  , ρ densidad, y el número de partículas  se muestran. Todos los sistemas son cubos con tamaño lineal  = 960.
FIG. 4.
Scaled funciones acumulativas de distribución (CDF) que se muestran con respecto a la variable de escala  ≡  , donde  = 1,5. (Recuadro) CDF para  = 0,9 en  = 100, 250, 500, y 1000.
Suponemos que el subcell vecino en el estado de gas es en el mismo grupo e identificar la burbuja sobre la base del criterio de sitio-percolación en la red cúbica simple. Definimos las agrupaciones que contienen dos o más subceldas como burbujas. Las simulaciones se realizaron con un programa MD paralelizado. 17,23,24 
Primero investigamos la dependencia del sistema de tamaño. Las evoluciones temporales de los FDC de varios tamaños del sistema se muestran en la Fig. 1 . Aquí, consideramos tres tamaños del sistema:  = 320, 480, y 960. Si bien estos datos están en buen acuerdo entre sí en  = 100, los datos del tamaño más pequeño se convierten inexacta en  = 250. Los datos de la media tamaño (  = 480) también se convierten en poco fiables en  = 1000. Esto significa que tenemos que hacer el sistema tan grande como sea posible con el fin de hacer que la zona para el escalado de la teoría LSW más tiempo. Se confirmó que las funciones de distribución del sistema con  = 960 muestran una precisión aceptable hasta  = 10 000, es decir, el número de burbujas son suficientes para hacer sentido considerar la distribución de los mismos. Por lo tanto, elegimos el tamaño del sistema sea 960 a través de las simulaciones.
FIG. 1.
La dependencia del sistema de tamaño de los FDC definidos en la Ec. (4) . Tres tamaños de los sistemas se muestran, = 320, 480, y 960, respectivamente. De izquierda a derecha, los dibenzofuranos policlorados en el tiempo  = 100, 250, 1.000 se muestran. Logaritmos decimales se toman para el eje horizontal.
Utilizamos 4.096 nodos de la computadora K en RIKEN. Llevamos a cabo la simulación de la manera del MPI-plana. Cada ejecución contiene 32 768 procesos MPI. Después termalización de 10 4 pasos, la observación se realizó durante 10 6 pasos. El tiempo de ejecución típica de una sola ejecución es de aproximadamente 24 h.
Instantáneas típicos se muestran en la Fig. 2 y evoluciones temporales de los observables en  = 0,9 se muestran en la Fig. 3 . El volumen total de gas  (  ) se relaja a su valor de equilibrio y se vuelve casi constante para  > 100 como se supone. Por lo tanto, la región  > 100 puede ser considerada como la región de escala en la teoría LSW. Tenga en cuenta que, el volumen total de gas sigue aumentando en la región de escala mientras se asumió que esto es independiente del tiempo en la Ec. (8) . Este aumento en el volumen total de las burbujas es debido al aumento en la temperatura. Puesto que el sistema en el régimen de escala es un proceso de no-equilibrio, la temperatura aumenta debido a la producción de entropía. En el régimen de escala, el área total de la superficie disminuye con casi manteniendo el volumen total de burbujas. Entonces el total de energía disminuye potenciales y el incremento total de la energía cinética mientras que la energía total (la suma de ellos) siempre se conserva después de la expansión. Debido a este efecto, la temperatura del sistema aumenta ligeramente en el régimen de escala. A medida que aumenta la temperatura, la densidad coexistentes de gas y líquido cambia. En el presente sistema, el volumen total de gas aumenta ligeramente a medida que aumenta la temperatura. 
FIG. 2.
Evolución temporal de las burbujas. Un pequeño sistema con  = 320 se muestra para la visibilidad. De izquierda a derecha: instantáneas en  = 50, 150 y 550. La resolución de las instantáneas es idéntica a subceldas utilizados en el análisis en el papel. Sólo los subceldas se muestran que se identificó como estado gaseoso.
FIG. 3.
Comportamientos de ley de potencia de observables para  = 0,9. El número total de burbujas de  (  ), el volumen total de gas  ), y el volumen medio de las burbujas de ˉv(t) se muestran, respectivamente. Las líneas de puntos marca, 1,5 , const., y -1.5 . Logaritmos decimales se toman para ambos ejes. v¯) 
La fracción de volumen de la fase de gas 3 , que a menudo se denota por φ, en la región de escala es de aproximadamente 0,04 para todos los casos. Si bien el número de burbujas  (  ) aumenta poco después de la expansión, muestra la decadencia de ley de potencia en la región de escala. El volumen medio de burbujas ˉv(t) también muestra el comportamiento de ley de potencia en la región de escala. El exponente de escala  se determina que es 1,5 lo que significa que el radio medio de las burbujas es proporcional a 1/2 , es decir, la 1/2 ley es satisfecho. Los dibenzofuranos policlorados y CDCs escala se muestran en la Fig. 4 .Son bien a escala utilizando el exponente  = 1,5. Esta es la confirmación directa de que la función de distribución tiene la forma asintótica de escala dado por la Ec. (6) . v¯) 
La dependencia de la temperatura de la exponente de escala se muestra en la Fig. 5 . A medida que aumenta la temperatura, un crossover de  = 1,5 a 1,0 se observa. Cuando  = 1.0, el radio medio de las burbujas aumenta como 1/3 (el tercera ley). Este cruce se produce en el umbral entre la dinámica de la interfaz limitada y difusión limitada del sistema. Aunque ya se han dado argumentos similares, 1,7,8 les reformular en términos de núcleos de burbujas. Considere la posibilidad de una burbuja con un radio  en un líquido ambiente con presión  . La presión interna de la burbuja es dada por la fórmula Young-Laplace como  =  + 2γ /  con γ tensión superficial. El potencial químico exceso de burbuja con respecto al líquido ambiente está dada por Δμ. Si la tasa / condensación evaporación es suficientemente alta, entonces la diferencia en el potencial químico es casi cero y la dinámica se rige por el proceso de difusión. La corriente de difusión por unidad de área a través de la superficie de la burbuja está dada por la ley de Fick como 

ρr|||RDRCρ ) ) ,
(14) 
donde  es una constante de difusión y  es una constante de integración. La densidad en la superficie de la burbuja está dada por la ecuación de Gibbs-Thomson linealizado como ρ (  ) = ρ  (1-2σβγ /  ), donde ρ  es la densidad de equilibrio a la temperatura dada, σ es el volumen atómico y β es el inverso de la temperatura. Dado que la tasa de crecimiento es proporcional a 4π  , tenemos ˙vα(v/vc)1/3-1 , lo que conduce a ω = 0, y, en consecuencia,  = 1, es decir, la 1/3 la ley se cumple. Por otro lado, si la tasa de evaporación / condensación es mucho más lento que el proceso de difusión, entonces hay una brecha finito en el potencial químico entre la superficie de la burbuja y el líquido ambiente. Se define un radio crítico  que hace Δμ = 0. Entonces la diferencia en el potencial químico de una burbuja que tiene un radio  está dada por v̇ α vc)31 

Delta mu=RRcμppR,
(15) 

=RRc1ργR2,
(16) 

=1βRRc1plγ)γR2,
(17) 

=1βln δRδRc,
(18) 

~δRcβRcδ)1Rc1R) ,
(19) 
donde δ ≡ 2γ /  . Aquí, hemos utilizado la de Gibbs-Duhem ecuación ρdμ = d  y el ideal aproximación gas ρ = β  . Suponiendo que la tasa de crecimiento de la burbuja es proporcional a  - 1 Δμ con la dimensionalidad del sistema  , obtenemos

v̇ αRd11Rc1R) ,
(20) 

=vddvvc)3) ,
(21) 

αtddvvc)3) .
(22) 
Comparando las Ecs. (7) y (22) , hemos ω =  (  - 2) /  , y por lo tanto,  =  / 2. Para un sistema en tres dimensiones,  es 3/2, correspondiente a la 1/2 ley. Los resultados de la simulación implican que la tasa de evaporación / condensación es mucho más lento que el proceso de difusión a bajas temperaturas, y a la inversa es cierto a altas temperaturas, lo que hace sentido intuitivo. 
FIG. 5.
Dependencia de la temperatura de la exponente de escala. Las densidades de número de burbujas,  (  ) /  , se muestran para  = 0,8, 0,85, 0,90, 0,95, y 1,0, donde  denota el volumen del sistema. La línea continua y una línea discontinua denotan -1,5 y -1 , respectivamente. Logaritmos decimales se toman para ambos ejes.
Hasta el momento, sólo tenemos en cuenta la física en la superficie de las burbujas. Haciendo varias aproximaciones sobre la base de la teoría clásica de nucleación, el comportamiento asintótico de la presión se puede derivar. 1 Supongamos que  (  ) es el trabajo reversible llevado a cabo para crear una burbuja que tiene el volumen  . Suponemos que la forma de la función  es el de la teoría clásica de nucleación, 

W) α exp ( Δ γvd) ,
(23) 
donde Δ  (  ) es una variable dependiente del tiempo que es proporcional a la diferencia de potencial químico entre fases gaseosa y líquida, γ es una constante que es proporcional a la tensión superficial, respectivamente. Despreciando el término difusivo, tenemos la ecuación de tipo Fokker-Planck (véase, por ejemplo, la Ec. (3.39) en la Ref. 1 )

Ftv{ R f[ Δ γ( 1 1dvd] } ,
(24) 
donde  (  ) es una cantidad que depende sólo de  . Teniendo en cuenta la ley de conservación (8) , la hipótesis de escala (6) , y la Ec. (24) , tenemos el comportamiento asintótico de Δ  (  ) como

Δ ) ~ td.
(25) 
Entonces es natural esperar que el comportamiento asintótico de presión también tiene la forma

Δ P) ≡ P0P) ~ td,
(26) 
donde  (  ) es la presión del sistema en el momento  y  es la presión final, es decir,  ≡  (∞), respectivamente. Las evoluciones de tiempo de presión en  = 0.9 y 1.0 se muestran en la Fig. 6 . Encontramos que el comportamiento asintótico de Δ es -1/2 a la temperatura más baja y -1/3 a la temperatura más alta, que son consistentes con el hecho de que  = 3/2 a la temperatura más baja y  = 1 a la temperatura más alta. 
FIG. 6.
Tiempo de evolución de la presión en  = 0,9 y 1,0. La diferencia de presión Δ  ≡  -  (  ) se muestran. Las presiones finales se estiman en  = 0,02114 (2) a  = 0,9 y  = 0,05383 (3) a  = 1,0. La línea continua y una línea discontinua denotan -1/2 y -1/3 , respectivamente. Logaritmos decimales se toman para ambos ejes.
En resumen, hemos realizado simulaciones MD y observado la maduración de Ostwald de burbujas. A lo mejor de nuestro conocimiento, este es el primer estudio que confirma directamente el comportamiento de escala en los núcleos de varias burbujas de simulaciones MD. Se requieren al menos un centenar de millones de partículas para realizar análisis de escala de la función de distribución con una precisión aceptable, que no se puede lograr sin una computadora escala peta.
Hemos observado tanto en los comportamientos de interfaz limitada y difusión limitada en el mismo sistema. El comportamiento de la escala predicho por la teoría LSW se confirmó observando directamente por las distribuciones de tamaño de las burbujas y los comportamientos asintóticos de presión también son consistentes con la teoría. Es bastante sorprendente que la teoría LSW funciona bien para los núcleos de burbujas, y este éxito se atribuye a la separación de escalas de tiempo. La teoría LSW asume que la velocidad de engrosamiento de una burbuja es independiente de su entorno. Esta condición se justifica por la separación de escalas de tiempo entre el tiempo de relajación de la presión en el líquido ambiente y las tasas de engrosamiento de burbujas.La presión del sistema es casi homogénea en las evoluciones de tiempo, y por lo tanto, las burbujas en el sistema se somete a una presión idéntica a lo largo de la evolución temporal, lo que justifica el tratamiento de campo medio.
La conservación del volumen total de la fase de gas  también sugiere la separación de escalas de tiempo entre la evolución en el tiempo del volumen y la de la superficie. Como se muestra en la Fig. 3 , el volumen total de gas aumenta rápidamente después de la expansión, y se hace casi constante. Esto implica que la evolución temporal del volumen es mucho más rápida que la de la superficie. En la región de la escala, el área superficial total de las burbujas disminuye manteniendo el volumen total de burbujas constantes. Como se libera energía libre superficial, la temperatura del sistema aumenta. Este aumento de temperatura es la fuerza impulsora de la maduración de Ostwald de burbujas. Tenga en cuenta que, el volumen total de gas aumenta lentamente en la región de escala debido al aumento en la temperatura.
El cálculo se llevó a cabo en el equipo K en RIKEN. Nos gustaría dar las gracias a N. Kawashima, H. Hayakawa, y S. Takagi útil para los debates. Este trabajo fue parcialmente apoyado por becas-en-Ayudas a la Investigación Científica (Contrato Nº 23.740.287).

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